有限單元法 | 安維士

2019-11-19 來(lái)源：南京安維士作者：南京安維士 瀏覽數(shù)：5133

有限元法簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是將離散的有限個(gè)單元來(lái)代替整體的結(jié)構(gòu)，單元的特性由有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)來(lái)表征，從而實(shí)現(xiàn)整體分析部分化、單元化。使用合適的方式，組合包含未知參數(shù)的代數(shù)方程，這些方程包含各個(gè)單元的關(guān)系式子組成，利用插值函數(shù)，通過(guò)所構(gòu)建的平衡方程組求得節(jié)點(diǎn)未知參數(shù)，求得插值函數(shù)的近似解。以一個(gè)單向受拉桿為例，來(lái)介紹有限元的計(jì)算思想。

 　　有限元法簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是將離散的有限個(gè)單元來(lái)代替整體的結(jié)構(gòu)，單元的特性由有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)來(lái)表征，從而實(shí)現(xiàn)整體分析部分化、單元化。使用合適的方式，組合包含未知參數(shù)的代數(shù)方程，這些方程包含各個(gè)單元的關(guān)系式子組成，利用插值函數(shù)，通過(guò)所構(gòu)建的平衡方程組求得節(jié)點(diǎn)未知參數(shù)，求得插值函數(shù)的近似解。以一個(gè)單向受拉桿為例，來(lái)介紹有限元的計(jì)算思想。

 

　　如圖1所示，拉桿一端固定，另一端受外力P=10kN，拉桿長(zhǎng)度L=400mm，橫截面積A=100mm2，材料為Q235，，計(jì)算軸向變形。

 

圖1

 

　　根據(jù)材料力學(xué)胡克定律：

 

　　即得圖1拉桿右端的位移。將公式1進(jìn)行簡(jiǎn)單的移項(xiàng)可改寫(xiě)為公式2

 

　　EA/L項(xiàng)即為單元?jiǎng)偠萲。

 

　　下面開(kāi)始推導(dǎo)有限元一維桿單元線性靜力學(xué)典型方程，將圖1軸向受拉桿劃分成一個(gè)桿單元，一個(gè)桿單元分左右i、j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有一個(gè)自由度，即沿X方向的平動(dòng)自由度。

 

圖2

 

　　由圖2可知，桿左右兩側(cè)均受拉力作用，左側(cè)Pi和右側(cè)Pj的內(nèi)力由公式2推導(dǎo)如下：

 

　　將公式（3）寫(xiě)成矩陣形式

 

　　在公式4中有ui和uj兩個(gè)未知量，若1個(gè)節(jié)點(diǎn)有1個(gè)廣義未知量，1個(gè)一維桿單元包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，則1個(gè)單元共有兩個(gè)廣義位移未知量，最終構(gòu)成的矩陣為2X2的方陣。

 

　　公式4可簡(jiǎn)寫(xiě)成公式5

 

　　式中，

 

　　公式5即為有限元線性靜力學(xué)的典型方程。

 

　　公式4僅為1個(gè)單元的靜力平衡方程，若將圖1的軸向受力構(gòu)件劃分成兩個(gè)單元，則需要將兩個(gè)單元平衡方程進(jìn)行組裝。下面就以圖1的構(gòu)件為例，將其劃分成兩個(gè)單元，計(jì)算其右側(cè)的軸向位移。

 

　　單元?jiǎng)澐秩鐖D3，左側(cè)定義為1號(hào)單元，右側(cè)定義為2號(hào)單元，共有 3個(gè)節(jié)點(diǎn)，3個(gè)未知位移，故最終構(gòu)成的矩陣應(yīng)該是3X3的方陣。

 

圖3

 

　　1號(hào)單元的靜力平衡方程如公式7：

 

　　在組裝矩陣之前，需要擴(kuò)充公式6和公式7，擴(kuò)充矩陣的目的是將3個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移全部納入到總剛矩陣中便于后面矩陣疊加，擴(kuò)充后的公式6和公式7如下：

 

　　下面將擴(kuò)充后的公式6和公式7合并、組裝，如公式9：

 

　　公式9中剛度矩陣K的行列式為0，無(wú)法求解圖1中桿的位移，因此在使用有限元軟件進(jìn)行靜力學(xué)分析時(shí)，由于結(jié)構(gòu)約束不足，會(huì)給出報(bào)錯(cuò)提示。

 

　　若讓式9有解，需要對(duì)式9加入邊界條件，本例的邊界條件是左側(cè)i節(jié)點(diǎn)的軸向位移為0，即是已知的，故將式9的第一行和第一列從矩陣中去除，式9變成式10，如下式：

 

　　將其它已知條件（彈性模量、桿長(zhǎng)、桿截面積及右側(cè)集中力）帶入式10：

 

　　將公式10從矩陣形式改成線性方程組的形式：

 

　　求解公式11，得

 

　　由結(jié)果可知，有限元方法求出的基本結(jié)果是位移，應(yīng)變，應(yīng)力場(chǎng)是基于位移基本解迭代出來(lái)的。

 

　　作者  李文文    高級(jí)工程師

 

　　南京安維士傳動(dòng)技術(shù)股份有限公司

 

　　Review

　　安維士聯(lián)合中國(guó)船級(jí)社、南高齒以及業(yè)主單位、主機(jī)廠、齒輪箱廠等，依據(jù)多年的齒輪箱后市場(chǎng)維修經(jīng)驗(yàn)，編制了齒輪箱檢修技術(shù)規(guī)范并依據(jù)執(zhí)行。

【延伸閱讀】

滾動(dòng)軸承的故障診斷 | 安維士

預(yù)告| 南京安維士應(yīng)邀出席2019北京國(guó)際風(fēng)能大會(huì)暨展覽會(huì)

論風(fēng)電青年和普通青年的9大區(qū)別 | 安維士

粗糙度簡(jiǎn)介 | 安維士

你去關(guān)注996.ICU，他去關(guān)注奔馳漏油，我只想知道齒輪箱換油 | 安維士

機(jī)械維修中常見(jiàn)的九大問(wèn)題

風(fēng)電零件特種修復(fù)方法之冷熔 | 安維士

干貨 | 風(fēng)電齒輪箱不對(duì)中淺談

干貨 | 潤(rùn)滑油對(duì)微點(diǎn)蝕的影響

乘風(fēng)破浪潮頭立，揚(yáng)帆起航正當(dāng)時(shí) ——南京安維士榮獲優(yōu)秀民營(yíng)企業(yè)獎(jiǎng)和經(jīng)濟(jì)貢獻(xiàn)進(jìn)步10

“安維士的朋友們，大家都挺好啊？”

干貨 | 風(fēng)電主齒輪箱主流設(shè)計(jì)技術(shù)路線

乘風(fēng)破浪潮頭立，揚(yáng)帆起航正當(dāng)時(shí) ——南京安維士榮獲優(yōu)秀民營(yíng)企業(yè)獎(jiǎng)和經(jīng)濟(jì)貢獻(xiàn)進(jìn)步10

風(fēng)電機(jī)組運(yùn)維及大部件修復(fù)專(zhuān)場(chǎng)——南京安維士傳動(dòng)吳偉強(qiáng)：齒輪箱高標(biāo)準(zhǔn)維修的必要性與

繼成功替換Vestas850風(fēng)機(jī)進(jìn)口齒輪箱后南京安維士再一次用南高齒齒輪箱成功替換Gamesa8

閱讀上文 >> 陸上風(fēng)電進(jìn)入5.0時(shí)代

閱讀下文 >> 邁過(guò)生態(tài)保護(hù)這道“坎”，風(fēng)電你才能贏